"משוואות של פיזיקה מתמטית" - קורס 2800 רובל. מ-MSU, אימון 15 שבועות. (4 חודשים), תאריך: 30 בנובמבר, 2023.
Miscellanea / / December 02, 2023
הקורס מיועד לבוגרים, תואר שני ומומחים המתמחים בדיסציפלינות מתמטית, הנדסה או מדעי הטבע, וכן למורים באוניברסיטאות. מטרת הקורס היא להכיר לתלמיד מגוון נושאים קלאסיים בתחום המשוואות עם פיזיקה מתמטית וללמד את התלמיד את השיטות הבסיסיות ללימוד משוואות מסוג זה. הקורס מכסה חומר קלאסי על משוואות הפיזיקה המתמטית (משוואות דיפרנציאליות חלקיות) בתוך סמסטר אחד ללימודים. הסעיפים "משוואות לינאריות וקוזילינאריות מהסדר הראשון", "סיווג משוואות לינאריות", "משוואת גלים", "משוואה פרבולית", "פתרונות יסוד", "המשוואה של לפלס". נכיר את הניסוחים הקלאסיים של בעיות - בעיית קאוצ'י, בעיית גבול. נשלוט בשיטות הבסיסיות ללימוד משוואות - אינטגרציה ישירה, שיטת המשך הפתרונות, שיטת פורייה, שיטת הפתרונות היסודיים, שיטת הפוטנציאלים. לעתים קרובות נזכור את גזירת המשוואות הללו בבעיות של פיזיקה מתמטית ובגבולות הישימות של המודלים שלנו.
צורת לימוד
קורסי התכתבות בטכנולוגיות למידה מרחוק
דרישות קבלה
זמינות של VO או SPO
2
קוּרסדוקטור למדעי הפיזיקה והמתמטיקה, תפקיד פרופסור: פרופסור במחלקה למתמטיקה יסודית ויישומית, הפקולטה לחקר החלל, אוניברסיטת מוסקבה על שם M.V. Lomonosov
1. פגישה ראשונה.
מילת מבוא. עקרונות בסיסיים של עבודה עם משוואות של פיזיקה מתמטית. דוגמאות למשוואות פשוטות. מִיוּן. פתרון משוואות פשוטות על ידי הפחתתן למשוואות דיפרנציאליות רגילות. החלפת משתנים במשוואה.
2. משוואות מסדר ראשון - ליניארית וקוזילינארית.
משוואות לינאריות. מציאת תחליף מתאים - הידור ופתרון מערכת משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר ראשון. אינטגרלים ראשונים של המערכת. מאפיינים. משוואות קווזילינאריות. מציאת פתרון בצורה מרומזת.
3. בעיה קוצנית. סיווג משוואות ליניאריות מסדר שני.
הצהרה על בעיית קאוצ'י. משפט על קיומו וייחודו של פתרון לבעיית קאוצ'י. סיווג משוואות לינאריות מסדר שני עם מקדמים קבועים. הפחתה לצורה קנונית.
4. משוואות היפרבוליות, פרבוליות ואליפטיות.
סיווג משוואות ליניאריות מסדר שני עם מקדמים משתנים במישור. סוג היפרבולי, פרבולי ואליפטי. פתרון משוואות היפרבוליות. בעיות בתנאי התחלה וגבול.
5. משוואת מחרוזת.
משוואת גל חד מימדית על כל הציר. גל קדימה ואחורה. הנוסחה של ד'אלמבר. אינטגרל דוהמל. תנאי גבול למשוואה על חצי הציר. סוגים בסיסיים של תנאי גבול. המשך הפתרון. המקרה של מקטע סופי.
6. שיטת פורייה באמצעות משוואת המחרוזת כדוגמה.
הרעיון של שיטת פורייה. הצעד הראשון הוא למצוא בסיס. השלב השני הוא השגת משוואות דיפרנציאליות רגילות עבור מקדמי פורייה. השלב השלישי הוא לקחת בחשבון את הנתונים הראשוניים. התכנסות של סדרות.
7. משוואת דיפוזיה (קטע סופי).
גזירת המשוואה. הצהרת בעיות (תנאי התחלה וגבול). שיטת פורייה. התחשבות בצד ימין ובחוסר הומוגניות בתנאי גבול. התכנסות של סדרות.
8. משוואת דיפוזיה (הציר שלם).
טרנספורמציה פורייה, נוסחת היפוך. פתרון המשוואה באמצעות טרנספורמציה פורייה. משפט – הצדקה של השיטה (שני מקרים). הנוסחה של פויסון. מקרה של משוואה עם צד ימין.
9. פונקציות כלליות.
כתיבת הנוסחה של פויסון כקונבולציה. רישום בצורה של פיתול של הפתרון למשוואת החום על קטע סופי. שיעור שוורץ. דוגמאות לפונקציות מהכיתה. הגדרת פונקציות מוכללות, חיבור לפונקציות קלאסיות. הכפלה של פונקציה מוכללת בפונקציה בסיסית, בידול. התכנסות של פונקציות מוכללות. דוגמאות לפונקציות גנריות.
10. עבודה עם פונקציות כלליות.
פתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות בפונקציות מוכללות. טרנספורמציה פורייה של פונקציות מוכללות. קונבולציה. מוצר ישיר. הנשא של פונקציה מוכללת. פתרון משוואת החום החד-ממדית הלא-הומוגנית באמצעות הפתרון הבסיסי. פתרון בסיסי של אופרטור דיפרנציאלי רגיל על מרווח.
11. פתרונות יסוד.
גזירת נוסחת הפואסון למשוואת החום הרב-ממדית. גזירת הנוסחה של קירקהוף. גזירת הנוסחה של פויסון למשוואת הגלים. פתרון בעיות בשיטת הפרדת משתנים, שיטת הסופרפוזיציה.
12. המשוואה של לפלס.
גזירת משוואת לפלס. שדה וקטור - פוטנציאל, זרימה דרך משטח. פוטנציאל נפח. פוטנציאל שכבה פשוט. פוטנציאל שכבה כפולה. פוטנציאל לוגריתמי.
13. בעיית דיריכלה, בעיית נוימן ותפקוד גרין.
פונקציות הרמוניות. עקרון קיצון חלש. משפט הרנק. עקרון מקסימום קפדני. משפט הייחודיות. משפט ערך ממוצע. חלקות אינסופית. משפט ליוביל. הנוסחה של גרין. תפקידו של גרין, תכונותיו. פתרון בעיית הפואסון עם תנאי Dirichlet באמצעות הפונקציה של הירוק. בעיות ערך גבול אחרות. בניית הפונקציה של הירוק בשיטת השתקפות.
14.שיטת פורייה רב מימדית.
פתרון בעיות בשיטת פורייה. תנאי גבול שונים. בסל מתפקד. פולינום אגדי. סקירה של הקורס שהושלם. תִמצוּת.