גיאומטריה אנליטית - קורס חינם מבית חינוך פתוח, הדרכה 13 שבועות, כ-5 שעות שבועיות, תאריך 29.11.2023.

פרסים והישגים פרס ממשלת רוסיה בתחום החינוך לשנת 2010, מורה מכובד של MIPT.

הקורס מורכב מ-12 שבועות אימון ושבוע בחינות אחד

שבוע 1. מטריצות

01.00 מבוא

01.01 הגדרת מטריקס

01.02 פעולות עם מטריצות

01.02.01 בעיה. חישוב שילוב ליניארי של מטריצות

02/01/02 בעיה. מציאת המטריצה ​​המוטרפת

01.03 תוצר של מטריצות. חלק 1

01.04 תוצר של מטריצות. חלק 2

04/01/01 בעיה. חישוב מכפלת המטריצות

04/01/02 בעיה. בדיקת קיומו של מוצר וחישובו 

04/01/03 בעיה. חישוב מטריצה ​​בחזקת n. דוגמה 1

04/01/04 בעיה. חישוב מטריצה ​​בחזקת n. דוגמה 2

04/01/05 בעיה. חישוב פולינום מטריקס

04/01/06 בעיה. בדיקת תקפות השוויון המטריצה

04/01/07 בעיה. חישוב מטריצה ​​לחזק מספרי

01.05 קובע מטריקס

01.05.01 בעיה. חישוב הקובע של מטריצה

01.06 חוק קריימר

06/01/01 בעיה. פתרון מערכת משוואות ליניאריות בשיטת קריימר

שבוע 2. וקטורים

02.01 קביעת קטע מכוון, וקטור

02.02 חזרה מקורס גיאומטריה בבית הספר 

02.02.01 בעיה. הוכחה לאי השוויון עבור מרובע במרחב

02.02.02 בעיה. הוכחת שוויון ל-n-gon

02.03 שילוב לינארי של וקטורים

02.04 תלות לינארית ואי תלות של וקטורים 

02.05 קריטריון לתלות לינארית של מערכת וקטורים

02.06 בסיס

02.06.01 בעיה. מציאת קואורדינטות וקטוריות

02.06.02 בעיה. מציאת הקואורדינטות של מקבילי באמצעות וקטורים

02.07 החלפת בסיס

07/02/01 בעיה. מציאת הקואורדינטות של נקודת פריזמה במערכת קואורדינטות חדשה

07/02/02 בעיה. מציאת הקואורדינטות של נקודת מקבילית במערכת קואורדינטות חדשה

02.08 מערכת קואורדינטות קרטזית (DCS)

02.08.01 בעיה. בדיקה שוקטורים מהווים בסיס

02.09 החלפת ODSC

02.09.01 בעיה. מציאת הקואורדינטות של וקטורי המקור והבסיס במערכות הקואורדינטות החדשה והישנה

02.09.02 בעיה. מציאת הקואורדינטות של וקטור בבסיס החדש דרך הקואורדינטות בישן

שבוע 3. תוצר של וקטורים

03.01 מכפלת נקודות של וקטורים

03.02 הקרנה של וקטור על וקטור שאינו אפס

03.03 מאפייני המכפלה הסקלרית של וקטורים. חלק 1

03.04 מאפייני המכפלה הסקלרית של וקטורים. חלק 2

04/03/01 בעיה. מציאת אורכי הצלעות והזוויות של מקבילית באמצעות וקטורי בסיס

04/03/02 בעיה. מציאת ההשלכה האורתוגונלית של וקטור על קו

03.05 כיוון בסיסים. נפחים ואזורים מכוונים

03.06 מכפלה מעורבת של וקטורים. חלק 1

03.07 מכפלה מעורבת של וקטורים. חלק 2

03.08 תוצר וקטור של וקטורים. חלק 1

03.09 תוצר וקטור של וקטורים. חלק 2

03.09.01 בעיה. הוכחה לקומפלאריות של וקטורים

03.09.02 בעיה. מציאת שטח משולש באמצעות קואורדינטות וקטוריות

09/03/03 בעיה. הוכחת שוויון לוקטורים לא קולינאריים

09/03/04 בעיה. מציאת נפח טטרהדרון וגובהו

03.10 מוצר כפול קרוס

03.10.1 בעיה. הוכחת הזהות

03.11 בסיס הדדי

שבוע 4 חלק 1. מטוס בחלל

04.01 הגדרת מישור בחלל

04.02 צורות שונות של כתיבת משוואת מישור

04.03 משוואת מישור כללי

04.03.01 בעיה. משוואת מישור

שבוע 4 חלק 2. ישר על מטוס. קו ישר ומישור בחלל

04.04 קו ישר במטוס

04.04.01 בעיה. מציאת וקטור הרדיוס של נקודה

04.04.02 בעיה. תנאים לחיתוך, מקבילות וניצב של קווים במישור

04.05 משוואה כללית של קו ישר במישור. קו ישר בחלל

04.05.01 בעיה. מציאת וקטור הרדיוס של נקודת החיתוך של קווים

04.05.02 בעיה. משוואת ישר חוצה שני קווי הטיה

04.05.03 בעיה. משוואת ישר העובר דרך נקודה ומקביל לישר אחר

04.05.04 בעיה. תנאי לחיתוך קו ומישור

04.06 הסדר הדדי של קווים ומטוסים

06/04/01 בעיה. משוואת מישור העובר דרך נקודה ומקביל לשני ישרים

06/04/02 בעיה. משוואת מישור העובר דרך ישר אחד ומקביל לישר אחר

04.07 קו ישר ומטוס ב-PDSC

04.07.01 בעיה. משוואת ישרים העוברים בנקודה אחת ובמרחק שווה משתי נקודות אחרות

04.07.02 בעיה. משוואת חציו של הזווית בין ישרים

04.08 כמה בעיות מטריות ב-PDSC. חלק 1

04.08.01 בעיה. משוואת ישרים מקבילים לישר אחר ומופרדים מנקודה במרחק מסוים

04.08.02 בעיה. משוואה כללית של מישור העובר דרך נקודה כלשהי וקו. מרחק מהמישור הזה לנקודה נתונה

04.09 כמה בעיות מטריות ב-PDSC. חלק 2

04.09.01 בעיה. מרחק בין השורות

שבוע 5. קווים אלגבריים מסדר שני במישור

05.01 הגדרת קווים ומשטחים אלגבריים

05.02 קווים מסדר שני במטוס. משוואת אליפסה

05.03 משוואת אליפסה דמיונית, זוג קווים מצטלבים דמיוניים, היפרבולה, זוג קווים מצטלבים

05.04 משוואת פרבולה, זוגות של קווים מקבילים, זוגות של קווים מקבילים דמיוניים, זוגות של קווים מקבילים

05.05 מרכז הקו. קווים אליפטיים והיפרבוליים

05.05.01 בעיה. סוג של עקומה מסדר שני המוגדר על ידי משוואה כלשהי. המשוואה הקנונית של עקומה ומערכת הקואורדינטות הקנונית. דוגמה 1

05.05.02 בעיה. סוג של עקומה מסדר שני המוגדר על ידי משוואה כלשהי. המשוואה הקנונית של עקומה ומערכת הקואורדינטות הקנונית. דוגמה 2

05.05.03 בעיה. סוג של עקומה מסדר שני המוגדר על ידי משוואה כלשהי. המשוואה הקנונית של עקומה ומערכת הקואורדינטות הקנונית. דוגמה 3

שבוע 6 לימוד המאפיינים של אליפסה, היפרבולה ופרבולה

06.01 אליפסה

01/06/01 בעיה. משוואת אליפסה קנונית

06.02 מאפייני האליפסה

06.03 משוואת משיק לאליפסה

03/06/01 בעיה. משוואת המשיקים לאליפסה

03/06/02 בעיה. זווית בין המשיק לציר השור

06.04 היפרבולה

04/06/01 בעיה. אקסצנטריות היפרבולה

06.05 תכונות גיאומטריות של היפרבולה

05/06/01 בעיה. הוכחה לקביעות המכפלה של המרחק מכל נקודה של היפרבולה לאסימפטוטות שלה

06.06 פרבולה

06.06.01 בעיה. משוואת פרבולה

06.06.02 בעיה. משוואות משיקים לפרבולה

06.07 אליפסה, היפרבולה ופרבולה במערכת הקואורדינטות הקוטבית

שבוע 7 משטח מסדר שני

07.01 משטח סיבוב

07.02 אליפסואיד

07.03 קונוס מסדר שני

07.04 היפרבולואיד חד-יריעה

07.05 גנרטורים ישרים של היפרבולואיד בעל גיליון אחד

07.06 היפרבולואיד דו-שכבתי, פרבולואיד אליפטי והיפרבולי

06/07/01 בעיה. קביעת סוג משטח

06/07/02 בעיה. נקודות נפוצות של קו ומשטחים מסדר שני

06/07/03 בעיה. משוואות פרמטריות של מחוללים ישרים של משטח נתון

06/07/04 בעיה. סוג המשטח הנוצר על ידי סיבוב קו ישר

שבוע 8 מיפויים ותמורות

08.01 הגדרת מיפוי וטרנספורמציה

08.02 מיפוי אחד לאחד. תוצר של מיפויים

08.03 מאפייני התוצר של טרנספורמציות מישוריות. תיאום רישום של מיפויים

08.04 טרנספורמציות של מישור אורתוגונלי

08.05 טרנספורמציות ליניאריות ואפיניות

08.06 תמונה של וקטור במהלך טרנספורמציה ליניארית. חלק 1

08.07 תמונה של וקטור במהלך טרנספורמציה ליניארית. חלק 2

08.08 תכונות גיאומטריות של טרנספורמציות אפיניות

08.08.01 בעיה. סימטריה על קו ישר

08.08.02 בעיה. טרנספורמציה קשורה של מישור שלוקחת קווים נתונים לתוך עצמו ונקודה נתונה לנקודה אחרת

08.09 אזורים משתנים במהלך טרנספורמציה אפינית

08.10 תמונות של שורות מסדר שני תחת טרנספורמציה אפינית

08.10.01 בעיה. סוג עקומה מסדר שני

08.10.02 בעיה. הוכחה לשוויון של סכומי שטחים של משולשים

08.11 פירוק של טרנספורמציה אפינית

08.11.01 בעיה. ייצוג של טרנספורמציה אפינית נתונה כמוצרים של שלוש טרנספורמציות

שבוע 9 דטרמיננטים של מטריצות מסדר n

09.01 קובעים

01/09/01 בעיה. קובע סדר נ. דוגמה 1

01/09/02 בעיה. קובע סדר נ. דוגמה 2

09.02 מאפייני הקובע. חלק 1

09.03 מאפייני הקובע. חלק 2

09.04 מאפייני הקובע. חלק 3

04/09/01 בעיה. קובע ונדרמונד

04/09/02 בעיה. קובע סדר 2n

09.05 נוסחה לפיתוח מלא של דטרמיננט

05/09/01 בעיה. נוסחת פירוק מלאה עבור מטריצה ​​מסדר חמישי

09.06 SLAU במקרה מיוחד

09.07 הלכת קריימר בתיק הכללי

שבוע 10 דירוג מטריקס

10.01 קטינים בסדר שרירותי

10.02 דירוג מטריקס

02/10/01 בעיה. מערכת דירוג ובסיס של עמודות מטריצה

02/10/02 בעיה. הערכת הדרגה של מטריצה ​​בסדר n

02/10/03 בעיה. הוכחה לאי-שוויון בדרגות עבור כל מטריצות באותו גודל

02/10/04 בעיה. מינור לא-אפס בסדר r של מטריצה ​​בדרגה r

02/10/05 בעיה. הערכת דירוג מטריקס

10.03 צמצום המטריצה ​​לצורה פשוטה

10.04 שיטת גאוס

10.05 משפט מינור בסיס

05/10/01 בעיה. ייצוג מטריצה ​​באמצעות מכפלה של מטריצות

10.06 משפט דירוג מטריקס

06/10/01 בעיה. גבול עליון לדרגת המכפלה של שתי מטריצות

06/10/02 בעיה. הוכחת שוויון בדרגת מטריצה ​​לדרג הגבוה ביותר מבין הקטינים

שבוע 11 מטריצה ​​הפוכה

11.01 הגדרה של מטריצה ​​הפוכה

11.02 ביטוי אלמנטים של מטריצה ​​הפוכה באמצעות אלמנטים של המטריצה ​​המקורית

 02/11/01 בעיה. חישוב המטריצה ​​ההפוכה. דוגמה 1

02/11/02 בעיה. מציאת המטריצה ​​ההפוכה. דוגמה 2

11.03 תכונות של מטריצה ​​הפוכה

03/11/01 בעיה. בדיקת תקפות הזהות למטריצות

11.04 הוכחה נוספת לקיומה של מטריצה ​​הפוכה עבור מטריצה ​​ריבועית שאינה יחידה

11.05 פולינום אופייני של מטריצה

05/11/01 בעיה. מטריצה ​​הפוכה

11.06 משפט המילטון-קיילי

11.07 טרנספורמציות יסודיות כמו כפל מטריצה

07/11/01 בעיה. חישוב המטריצה ​​ההפוכה באמצעות טרנספורמציות יסודיות. דוגמה 1

07/11/02 בעיה. מציאת המטריצה ​​ההפוכה. דוגמה 2

שבוע 12 תיאוריה כללית של מערכות לינאריות

12.01 משפט קרונקר-קפלי

12.02 משפט פרדהולם

12.03 פתרון כללי של SLAE לא הומוגנית

12.04 מטריצה ​​בסיסית של SLAE הומוגנית. חלק 1

12.05 מטריצה ​​בסיסית של SLAE הומוגנית. חלק 2

05.12.01 בעיה. מטריצה ​​בסיסית של SLAE

05.12.02 בעיה. בדיקת המטריצה ​​הבסיסית של SLAE

05.12.03 בעיה. פתרון SLAE

05.12.04 בעיה. השקפה כללית של מטריצה ​​בסיסית שרירותית של SLAEs

05/12/05 בעיה. תנאי שקילות עבור SLAEs

12.06 פתרון כללי של SLAE לא הומוגנית

06/12/01 בעיה. פתרון SLAE

06.12.02 בעיה. תאימות של SLAE הטרוגניים

שבוע 13 בחינה סופית