"הסטטיסטיקה Naked" - הספר המעניין ביותר על המדע הכי משעמם
ספרים / / December 19, 2019
חידת מונטי הול
"חידת מונטי הול" - הבעיה המפורסמת של תורת ההסתברות, כדי לבלבל את המשתתפים של השעשועון בשם באים עשינו עסק ( «כדי לעשות עסקה"), הוא עדיין פופולרי במדינות מסוימות, אשר הועלה לראשונה בארצות הברית בשנת 1963 בשנה. (אני זוכר, בכל פעם צפיתי תכנית זו כילד, כאשר אתה לא הולך לבית הספר עקב מחלה.) בהקדמה לספר, ואני כבר ציינתי כי שעשועון זה עשוי להיות מעניין עבור סטטיסטיקאים. בסוף המסיבה השקתו להגיע לגמר, הופך עם מונטי הול לפני שלוש דלתות גדולות: № 1, דלת 2 והדלת № 3 №. מונטי הול הסביר לגמר, וזה פרס בעל ערך רב חבוי מאחורי אחת הדלתות הללו - כגון מכונית חדשה, אבל עבור השניים האחרים - עז. לגמר היה צריך לבחור אחת הדלתות ולקבל מה עומד מאחורי זה. (אני לא יודע אם היה בין משתתפי המופע לפחות אדם אחד שרוצה לקבל עז, אך למען הפשטות, נניח כי הרוב המכריע של המשתתפים חלם מכונית חדשה.)
ההסתברות הראשונית של הזוכה הוא די פשוט לקבוע. ישנן שלוש דלתות, עם שני עורות עיזים, ועבור השלישי - המכונית. כאשר משתתפי המופע יחד עם מונטי הול עומד מול דלתות אלה, יש לו סיכוי של אחת משלוש לבחור דלת, שמאחוריה יש מכונית. אבל, כפי שצוין לעיל, הפוך בואו שקרים דיל הטריק, הונצח תוכנית הטלוויזיה הזו ועופרת שלה בספרות על התיאוריה של הסתברות. אחרי המועמדים הסופיים של המופע יהיה להצביע על כמה משלוש הדלתות, מונטי הול פותח אחת משתי הדלתות הנותרות, שמאחוריו הוא תמיד עז. מונטי הול שואל לגמר, אם הוא רוצה לשנות את דעתו, כי הוא, לנטוש את הנבחרת בעבר להם דלת סגורה לדלת נוספת סגורה.
נניח בואו, למשל, כי שהמשתמש הזין מספר על הדלת 1. מונטי הול אז פתח את דלת המספר 3, שמאחוריה עז. שתי דלתות, דלת מספר 1 ושרידים דלי מספר 2 הסגורים כמו קודם. אם פרס נמצא מאחורי דלת מספר 1, לגמר היה מנצח אותו, אבל אם עבור דלת מספר 2, הוא היה מפסיד. זה היה ברגע זה מונטי הול מתייחס לשחקן עם השאלה האם הוא רוצה לשנות את הבחירה הראשונית שלו (ב אשפה במקרה זה כדי דלתות מספר 1 לטובת דלתות מספר 2). כמובן שאתה זוכר ששני הדלתות סגורות עד. המידע החדש יחיד המשתתף קבל, הוא כי הילד היה מאחורי אחת משתי הדלתות, שהוא לא בוחר.
האם לגמר צריך להיות נטוש לטובת הבחירה הראשונית של דלתות מספר 2?
התשובה היא: כן, זה צריך. אם ידבוק הבחירה המקורית, ההסתברות לזכות אותם בפרס יקר ערך יהיה ⅓; אם זה משנה את דעתה יצביע על מספר דלת 2, ההסתברות לזכות בפרס יקר ערך תהיה ⅔. אם אתה לא מאמין לי, לקרוא על.
אני מודה כי תגובה כזו ממבט ראשון רחוק מלהיות מובן מאליו. נראה כי, לא משנה מה מבין שתיים הדלתות האחרות בחרו לשלב גמר, את הסבירות של פרס בעל ערך בשני המקרים שווים ל ⅓. ישנן שלוש דלתות סגורות. בתחילה, הסבירות כי פרס מסתתר מאחורי כל אחד מהם היא ⅓. האם יש החלטה ערך לגמר לשנות את הבחירה שלהם לטובת דלת סגורה אחרת?
כמובן, מאז התקלה היא כי מונטי הול יודע מה עומד מאחורי כל דלת. אם עולים לגמר בוחר דלת מספר 1, וזה באמת יהיה מכונית, מונטי הול יכול לפתוח כל דלת דלת מספר 2 או מספר 3, כדי להראות עז, מסתתר מאחורי זה.
אם עולה לגמר יבחר מספר דלת 1, והמכונית תהיה מאחורי דלת מספר 2, של מונטי הול פותח דלת מספר 3.
אם לגמר יציין את מספר הדלת 1, והמכונית תהיה מאחורי דלת מספר 3, את מונטי הול פותח דלת מספר 2.
הוא שינה את דעתו לאחר כמה הפתוחים המוביל של הדלתות, לגמר מקבל יתרון בחירה של שתי דלתות במקום אחד. אני אנסה לשכנע אותך בנכונות של ניתוח זה בשלוש דרכים שונות.
האחד - האמפירי. בשנת 2008, בעל טור בעיתון הניו יורק טיימס, ג'ון Tayerni חומר כתוב על "התופעה של מונטי הול." אחרי צוות הפרסום פתח תכנית אינטראקטיבית המאפשרת לך לשחק את המשחק הזה ולהחליט בעצמך, כדי לשנות את הבחירה המקורית שלהם או לא. (התכנית גם מספקת עיזים קטנים avtomobilchiki המופיעים מאחורי הדלת.) תכנית היא לוכדת הזכייה שלך כאשר אתה משנה הבחירה הראשונית שלך, וכאשר עזב לשלו דעה. שילמתי אחת מבנותיו לה לשחק את המשחק הזה 100 פעמים, ובכל פעם לשנות את הבחירה הראשונית. שילמתי גם אחיה, כך שגם הוא, שיחק את המשחק הזה 100 פעמים, בכל פעם שעזב את ההחלטה המקורית. בת זכתה 72 פעמים; אחיה - 33 פעמים. המאמצים נשאו פרי כל שני דולרים.
פרקים אלה של Make בואו משחק דיל להראות אותו הדפוס. על פי לאונרד Mlodinovu, המחבר של Walk של השיכור, לגמר אלה ששינו שלו הבחירה הראשונית של המנצח היא כ בסבירות גבוהה פי שניים מאלה שנשארו בבית שלהם דעה.
ההסבר השני שלי של תופעה זו מבוסס על אינטואיציה. נניח כללי המשחק השתנו מעט. לדוגמא, התחלות לגמר עם בחירה אחת משלוש הדלתות: דלתות № 1 № דלתות № 2 ו 3, כפי שהוא סופקו במקור. אבל אז, לפני שאתה פותח כמה דלתות, שמסתיר מאחוריו עיזים, מונטי הול שואל: "האם אתה מסכים לוותר שלהם בחירה תמורת פתיחת שתי דלתות הנותרות? "אז, אם אתה בוחר מספר דלת 1, אתה יכול לשנות את דעתך לטובת מספר מספר 2 דלתות ודלתות 3. אם הנקודה הראשונה למספר הדלת 3, אתה יכול לבחור דלת דלת מספר 1 ומספר 2. וכך הלאה.
בשבילך, זה לא יהיה החלטה קשה במיוחד: ברור שאתה צריך לסרב הבחירה הראשונית לטובת שתי דלתות אחרות, משום שהיא מגדילה את סיכויי הזכייה עם ⅓ כדי ⅔. המעניין ביותר הוא שזה בעצם גרסה של מונטי הול מציע משחק אמיתי, לאחר פתיחת הדלת, שמסתיר מאחוריו עזה. העובדה הבסיסית היא שאם אתה ניתנת האפשרות לבחור שתי דלתות, מאחורי אחת מהן, בכל מקרה, היה מתחבא עז. כאשר מונטי הול פותח את הדלת, שמאחוריה יש עז, ורק אז מבקשת ממך האם אתה מסכים לשנות את הבחירה הראשונית שלהם, זה מגביר באופן משמעותי את הסיכויים שלך לזכות יקר פרס! למעשה, מונטי הול אומר לך, "ההסתברות כי פרס מסתתר מאחורי אחת משתי הדלתות, כי אתה לא בחרת בפעם הראשונה, הוא ⅔, אבל זה עדיין יותר ⅓!»
זה יכול להיות מיוצג כדלקמן. תניח שאתה הראית את דלת מספר 1. אחרי זה מונטי הול נותן לך את ההזדמנות לזנוח את ההחלטה המקורית דלתות לטובת מספר 2 ו דלתות מספר 3. אתה מסכים שיש בבית הדלתות שני לרשותכם, מה שאומר שיש לך את כל סיבות לצפות לזכות בפרס יקר ערך עם הסתברות ⅔, ולא ⅓. מה יקרה אם, באותו רגע, מונטי הול פתח את דלת מספר 3 - אחת הדלת "שלך" - והתברר להיות עז? תרעיד את העובדה אמונך ההחלטה? כמובן שלא. אם המכונית מוסתרת מאחורי דלת מספר שלוש, מונטי הול היה פותח את דלת המספר 2! הוא לא להראות לך משהו.
כשהמשחק על תרחיש nakatannomu, מונטי הול באמת נותן לכם בחירה בין הדלת, שציינת בהתחלה, ואת שתי דלתות נותרות, שמאחורי אחד מהם יכולות להיות מכונית. כאשר מונטי הול פותח את הדלת, שמאחוריה עז, זה רק מספק לך טוב על ידי הוכחה, עבור איזו משתי הדלתות האחרות אין רכב. יש לך את אותה הסתברות זכייה בשני התרחישים הבאים.
- בחירת דלת מספר 1, ואז את ההסכמה "מתג" על הדלת של דלת מספר 2 ומספר 3 לפני שני תפתח שום דלת.
- דלת בחירת מספר 1, ואז את ההסכמה "מתג" על הדלת של מספר 2, אחרי מונטי הול להראות לך עז של מספר דלת 3 (או לבחור דלתות מספר 3, לאחר מונטי הול להראות לך עז מאחורי דלת מספר 2).
בשני המקרים, סירובה של הפתרון הראשוני מספק לך את היתרון של שתי דלתות, בהשוואה לאחד מכל ואתה ובכך יכול להכפיל את סיכויי הזכייה: עם ⅓ כדי ⅔.
ההתגלמות השלישית שלי מייצגת גרסה רדיקלית יותר של אותה אינטואיצית הבסיס. תניח הצעות מונטי הול לכם לבחור אחד 100 דלתות (במקום אחת לשלוש). ברגע שאתה עושה, למשל, מצביע על דלת של מספר 47, זה פותח את דלתות 98 הנותרים, שמאחוריו הם העזים. עכשיו דלתיים סגורים הם רק שתיים: מספר דלתך 47, ועוד, למשל דלת מספר 61. האם כדאי לנטוש הבחירה הראשונית שלך?
יס כמובן! עם 99 אחוזי הסתברות שהמכונית נמצאת מאחורי אחת הדלתות, אשר תבחרו בהתחלה. מונטי הול נתן לך טוב על ידי פתיחת דלתות 98 כאלה, המכונית לא הייתה עבורם. לפיכך, יש רק 1 ב 100 סיכוי כי הבחירה המקורית שלך (מספר דלת 47) תהיה נכונה. במקביל קיים 99 מתוך 100 סיכוי כי הבחירה הראשונה שלך לא בסדר. אם כן, אז שהמכונית נמצאת מאחורי הדלת הנותרת, אז יש מספר הדלת 61. אם אתה רוצה לשחק עם סיכוי לזכות 99 פעמים מתוך 100, אז אתה צריך "לעבור" על הדלת של מספר 61.
בקיצור, אם אי פעם תצטרך להשתתף הפוך בואו משחק דיל, בהחלט אתה צריך לתת מן ההחלטה הראשונית שלה כאשר מונטי הול (או מי יהיה ממלא מקומו) יספק לך את ההזדמנות בחירה. עוד מסקנה אוניברסלית מדוגמא זו היא כי האינטואיציות שלך על ההסתברות של התרחשות אירועים מסוימים לפעמים יכולות להטעות אתכם.
"סטטיסטיקה Naked" על ידי צ'ארלס וילן
לקנות על Litres.ru